题目内容
【题目】设正整数m，n满足
，
，
，
，…，
为集各
的n元子集，且
；
（1）若
，满足
；
（i）求证：
；
（ii）求满足条件的集合的个数；
（2）若
中至多有一个元素，求证：
.
【答案】（1）（i）证明见解析；（1）（ii）
；（2）证明见解析
【解析】
（1）（i）设
中的
个元素满足
，则得到
，得到证明.
（1）（ii）从
个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的
个元素排成一排，
形成
空，共有种放法，得到答案.
（2）根据题意知
，
没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为
，
的二元集合个数为
，故
，得到证明.
（1）（i）设中的个元素满足，
，满足
，
故
，故
.
（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，
形成空，共有种放法，故共有个集合.
（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，
的二元集合个数为，故，即
.
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【题目】近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在
内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 | 幼年期 | 成长期 | 成年期 |
重量（Kg） |
|
|
|
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布
.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
，
.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若
，
，
，
）
