题目内容
【题目】已知函数
，其中
.
（1）判断函数
的单调性；
（2）设
，
是的两个零点，求证：
.
【答案】（1）
在区间
上单调递减；在区间
上单调递增（2）证明见解析
【解析】
（1）求出函数的定义域，求导可得
，令
，可知函数
在
上单调递增，又
，由此即可函数的单调性情况；
（2）构造函数的图象关于直线
对称的曲线为
，可得
，再分
及
讨论即可得证.
（1）函数的定义域为
，
，
.
记，，
，
故函数在上单调递增，又.
所以当
时，
，故在区间上单调递减；
当
时，
，故在区间上单调递增.
（2）由（1）知
，设
，所以
，
.
设函数的图象关于直线对称的曲线为，
记
为图象上的任意一点，它关于直线的对称点为
，
则
，
由
，
，则有
.
（1）当
时，显然有
；
（2）当
时，记
，
则
，即
，
所以当
时，
，
因为，
，且函数在区间单调递减，
所以有
，得.
综上所述，.
【题目】近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在
内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 | 幼年期 | 成长期 | 成年期 |
重量（Kg） |
|
|
|
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布
.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
，
.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若
，
，
，
）
