Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）= ，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，e2+ ]
B.（0，e2+ ]
C.（e2+ ，+∞]
D.（﹣e2﹣ ，e2+ ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）= ，
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；
即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，
则m= =﹣x2+2ex+ ，
m′=﹣2x+2e+ =﹣2（x﹣e）+ ；
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=﹣x2+2ex+ 在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤﹣e2+2ee+ =e2+ ；
又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+ →﹣∞，
故m≤e2+ ；
故选A．
由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m= =﹣x2+2ex+ ，求导求函数m=﹣x2+2ex+ 的值域，从而得m的取值范围．