题目内容
【题目】已知函数(
为实数).
(I)讨论函数的单调性;
(II)若在
上的恒成立,求
的范围;
【答案】(I)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ) 求得函数的导数令
,解得
或
,根据根的大小三种情况分类讨论,即可求解.
(II )依题意有在
上的恒成立,
转化为在
上的恒成立,设
,
,利用导数求得函数
的单调性与最大值,即可求解.
(Ⅰ) 由题意,函数,
则
令,解得
或
,
①当时,有
,有
,故
在
上单调递增;
②当时,有
,
随
的变化情况如下表:
极大 | 极小 |
由上表可知在
和
上单调递增,在
上单调递减;
③同②当时,有
,
有在
和
上单调递增,在
上单调递减;
综上,当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减.
(II )依题意有在
上的恒成立,
即在
上的恒成立,
故在
上的恒成立,
设,
,则有
…(*)
易得,令
,有
,
,
随
的变化情况如下表:
极大 |
由上表可知,
又由(*)式可知,
故的范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”,分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.
(1)根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有
以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;
性别 | 入围人数 | 未入围人数 | 总计 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
总计 |
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生,然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》,设抽到的3名学生中女生的人数为,求
的分布列及数学期望.
附:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |