题目内容

设点分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线(直线不重合),若均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,使点的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

(1);(2)定点存在,其坐标为.

解析试题分析:本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识,考查分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.第一问,设出点坐标,用代数法解题,得到向量的坐标,利用向量的数量积得出表达式,求出最小值,即可解出的值,即确定了的值,写出椭圆的方程;第二问,由于直线与椭圆相切,所以直线与椭圆方程联立消参,得出方程的判别式等于0,得出,同理,得出,所以,因为两直线不重合,所以,若存在点,利用点到直线的距离公式得到距离之积为1的表达式,解出的值,由于的值存在,所以存在点,写出坐标即可.
试题解析:(I)设,则有,

最小值为,
∴椭圆的方程为                                  4分
(II)把的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆相切,∴,化简得
同理可得:
,若,则重合,不合题意,
,即                           8分
设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则
,即,
代入并去绝对值整理,或者 
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
,解得;
综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为 .          12分
考点:1.椭圆的标准方程;2.向量的数量积;3.点到直线的距离公式.

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