题目内容
设点、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线(直线
、
不重合),若
、
均与椭圆
相切,试探究在
轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)定点
存在,其坐标为
或
.
解析试题分析:本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识,考查分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.第一问,设出点坐标,用代数法解题,得到向量
和
的坐标,利用向量的数量积得出表达式,求出最小值,即可解出
的值,即确定了
的值,写出椭圆的方程;第二问,由于直线与椭圆相切,所以直线与椭圆方程联立消参,得出方程的判别式等于0,得出
,同理,得出
,所以
,因为两直线不重合,所以
,若存在点
,利用点到直线的距离公式得到距离之积为1的表达式,解出
的值,由于
的值存在,所以存在点
,写出坐标即可.
试题解析:(I)设,则有
,
由最小值为
得
,
∴椭圆的方程为
4分
(II)把的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆
相切,∴
,化简得
同理可得:
∴,若
,则
重合,不合题意,
∴,即
8分
设在轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,则
,即
,
把代入并去绝对值整理,
或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
则,解得
;
综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为
或
. 12分
考点:1.椭圆的标准方程;2.向量的数量积;3.点到直线的距离公式.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目