题目内容
【题目】已知函数.
(1)求的单调区间与极值;
(2)当函数有两个极值点时,求实数a的取值范围.
【答案】(1)减区间,增区间
,极小值为
,无极大值;(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导函数,根据导函数即可求出单调区间以及极值;
(2)求出的导函数,使导函数有两个根,采用分离参数法,结合(1)中的值域即可求出参数的取值范围.
解:(1)由,
则,
令,则
,
令,即
,解得
,
所以函数的单调递增区间为
;
令,即
,解得
,
所以函数的单调递减区间为
;
因为函数在
上单调递减,在
上单调递增,
所以函数在处取得极小值,
极小值
,无极大值.
综上所述,单调递增区间为;单调递减区间为
;
极小值为2,无极大值;
(2)由,
则,
若有两个极值点,则
有两个根
即有两解,即
,
即与
有两个交点,
由(1)可知在
上单调递减;在
上单调递增,
,所以
;
考虑函数,
,
由洛必达法则:,
,
,
所以若与
有两个交点,则
.
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