题目内容

设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8cx=1及x=2时取得极值.

(1)求ab的值;

(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.

解析 (1)f′(x)=6x2+6ax+3b

因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,

则有f′(1)=0,f′(2)=0.

解得a=-3,b=4.

(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c

f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).

x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;

x∈(2,3)时,f′(x)>0.

所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c.

f(0)=8cf(3)=9+8c

则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.

因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,

所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9.

因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).

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