题目内容
设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
解析 (1)f′(x)=6x2+6ax+3b,
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
则有f′(1)=0,f′(2)=0.
即解得a=-3,b=4.
(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3)时,f′(x)>0.
所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c.
又f(0)=8c,f(3)=9+8c,
则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,
所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9.
因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
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