Question

20．关于二项式（x-1）²⁰¹⁴的展开式有下列命题：
①该二项展开式中系数和是2²⁰¹⁴；
②该二项展开式中第六项为C⁶₂₀₁₄x²⁰⁰⁸；
③该二项展开式中系数最大的项是第1008项；
④当x=2014时，（x-1）²⁰¹⁴除以2014的余数是1．
其中正确命题的序号是④．（注：把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析 利用赋值法求出各项系数和，判断命题①错误；
利用二项展开式的通项公式求出第六项，判断命题②错误；
据二项展开式的二项式系数性质，中间项的二项式系数最大，判断命题③错误；
利用二项式定理将二项式展开，判断命题④正确．

解答 解：对于二项式（x-1）²⁰¹⁴的展开式中，各项系数的和是（1-1）²⁰¹⁴=0，∴①错误；
该二项展开式中第六项为T₅₊₁=${C}_{2014}^{5}$•x^2014-5•（-1）⁵=-${C}_{2014}^{2009}$•x²⁰⁰⁹，∴②错误；
展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{2014}^{r}$•x^2014-r•（-1）^r，第1008项系数为-${C}_{2014}^{1007}$，是系数最小的项，③错误；
当x=2014时，（2014-1）²⁰¹⁴=${C}_{2014}^{0}$•2014²⁰¹⁴-${C}_{2014}^{1}$•2014²⁰¹³+${C}_{2014}^{2}$•2014²⁰¹²-…
+${C}_{2014}^{r}$•2014^2014-r•（-1）^r+…-${C}_{2014}^{2013}$•2014+${C}_{2014}^{2014}$=k•2014+1，k∈N；
∴该数值除以2014的余数是1，④正确．
综上，其中正确命题的序号是④．
故答案为：④．

点评 本题考查了求展开式的系数和的常用方法--赋值法，也考查了利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，考查了展开式的二项式系数的性质与应用问题，是中档题目．