题目内容
【题目】如图,已知DP⊥y轴,点D为垂足,点M在线段DP的延长线上,且满足|DP|=|PM|,当点P在圆x2+y2=3上运动时
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)直线l:x=my+3(m≠0)交曲线C于A、B两点,设点B关于x轴的对称点为B1(点B1与点A不重合),且直线B1A与x轴交于点E. ①证明:点E是定点;
②△EAB的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:设M(x,y),则P( x,y),代入x2+y2=3,可得 x2+y2=3,即
(2)①证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线与椭圆C方程联立,
化简并整理得(m2+4)y2+6my﹣3=0,
∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,
由题设知B1(x2,﹣y2),∴直线AB1的方程为y﹣y1= (x﹣x1),
令y=0得x= =4,
∴点E(4,0)…(7分)
②△EAB的面积S= |PF||y1﹣y2|=2 =2 ≤1
当且仅当 ,即m= 时等号成立,
∴△PMN的面积存在最大值,最大值为1
【解析】(1)利用代入法,即可求点M的轨迹C的方程;(2)①由题意,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),可得直线AB1的方程,令y=0,可得点E的坐标为(4,0). ②利用△EAB的面积为S= |PF||y1﹣y2|=2 ,化简,利用基本不等式的性质即可得出.
【题目】某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位:cm)频数分布表如表1、表2. 表1:男生身高频数分布表
身高(cm) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) | [180,185) | [185,190) |
频数 | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:女生身高频数分布表
身高(cm) | [150,155) | [155,160) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) |
频数 | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出1人,设X表示身高在[165,180)学生的人数,求X的分布列及数学期望.