Question

在等比数列{a_n}中，若对n∈N^*，都有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则a

2 1

+a

2 2

+…+a

2 n

等于（　　）

• A．（2ⁿ-1）²
• B．

  1

  3

   （2ⁿ-1）²
• C．4ⁿ-1
• D．

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

分析：当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，两式相减可得a_n，进而得到

a

2 n

，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
∴an=2n-1．
当n=1时，a1=21-1=1对于上式也成立．
∴an=2n-1．
∴

a

2 n

=（2^n-1）²=4^n-1．
∴a

2 1

+a

2 2

+…+a

2 n

=4⁰+4¹+4²+…+4^n-1=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．
故选D．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本方法，属于基础题．