题目内容
(本小题满分14分)
如图6所示,等腰三角形△ABC的底边AB=,高CD=3.点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.
记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积。
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线
AC与PF所成角的余弦值。
如图6所示,等腰三角形△ABC的底边AB=,高CD=3.点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.
记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积。
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线
AC与PF所成角的余弦值。
(1)四棱锥的体积V(x)=SH=9(1-)=3(1-)(0<x<3)
(2)x=6时, V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)异面直线AC与PF所成角的余弦值为 cos∠PFQ=1/7
(2)x=6时, V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)异面直线AC与PF所成角的余弦值为 cos∠PFQ=1/7
(1)已知EFAB,那么翻折后,显然有PEEF,又PEAE, 从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。
四棱锥的底面积S=-
而△BEF与△BDC相似,那么
===
则S=-=(1-)63=9(1-)
故四棱锥的体积V(x)=SH=9(1-)=3(1-)(0<x<3)
(2) V’(x)= 3-x2(0<x<3)
令V’(x)=0得x=6
当x∈(0,6)时,V’(x)>0,V(x)单调递增;x∈(6,3)时V’(x)><0,V(x)单调递减;
因此x=6时, V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)过P作PQ∥AC交AB于点Q
那么△PQF中PF=FQ=,而PQ=6
进而求得cos∠PFQ=" "
故异面直线AC与PF所成角的余弦值为 cos∠PFQ=" " 1/7
四棱锥的底面积S=-
而△BEF与△BDC相似,那么
===
则S=-=(1-)63=9(1-)
故四棱锥的体积V(x)=SH=9(1-)=3(1-)(0<x<3)
(2) V’(x)= 3-x2(0<x<3)
令V’(x)=0得x=6
当x∈(0,6)时,V’(x)>0,V(x)单调递增;x∈(6,3)时V’(x)><0,V(x)单调递减;
因此x=6时, V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)过P作PQ∥AC交AB于点Q
那么△PQF中PF=FQ=,而PQ=6
进而求得cos∠PFQ=" "
故异面直线AC与PF所成角的余弦值为 cos∠PFQ=" " 1/7
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