Question

【题目】已知函数 ，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1 ， x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，g（x）=x+lnx，

∴ ，其定义域为（0，+∞），

∴ ．

∵x=1是函数h（x）的极值点，

∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．

∵a＞0，∴

经检验当 时，x=1是函数h（x）的极值点，

∴

（2）解：对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于

对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．

当x∈[1，e]时， ．

∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．

∴[g（x）]max=g（e）=e+1．

∵ ，且x∈[1，e]，a＞0．

①当0＜a＜1且x∈[1，e]时， ，

∴函数 在[1，e]上是增函数，

∴ ．

由1+a2≥e+1，得a≥ ，

又0＜a＜1，∴a不合题意；

②当1≤a≤e时，

若1≤x＜a，则 ，

若a＜x≤e，则 ．

∴函数 在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．

∴[f（x）]min=f（a）=2a．

由2a≥e+1，得a≥ ，

又1≤a≤e，∴ ≤a≤e；

③当a＞e且x∈[1，e]时， ，

∴函数 在[1，e]上是减函数．

∴ ．

由 ≥e+1，得a≥ ，

又a＞e，∴a＞e；

综上所述：a的取值范围为

【解析】（1）通过 、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得 ，再检验即可； （2）通过分析已知条件等价于对任意的x1 ， x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max ． 结合当x∈[1，e]时及 可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用 ，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．