题目内容

5．设曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=-1+\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t为参数），则直线l与曲线C截得的弦长为$2\sqrt{5}$．

分析 本题可以将曲线C的参数方程化为普通方程，再将直线l的参数方程化为普通方程，然后利用点线距离公式求出弦心距的长，根据勾股定理，求出弦长，即得本题结论．

解答 解：∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=-1+\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的方程为：（x-2）2+（y+1）2=10，
∴圆心C（2，-1），半径r=$\sqrt{10}$．
∵直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t为参数），
∴直线l的方程为：x-2y+1=0．
点C（2，-1）到直线l：x-2y+1=0的距离为：
d=$\frac{|2-2×（-1）+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
由勾股定理得到弦长为：
l=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-5}$=$2\sqrt{5}$．
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了将参数方程转化为普通方程的消参法，还考查了用弦心距求弦长的知识，本题难度不大，属于基础题．

练习册系列答案
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k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
A．0.005B．0.05C．0.010D．0.025

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