Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线

x2

3

-y²=1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的标准方程，可得其离心率，进而根据题设可求得椭圆的离心率．再根据椭圆的顶点A的坐标，进而可求得b和a，椭圆的方程可得．
（2）先设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），直线和椭圆相交，联立方程可得含有k的一元二次方程，再根据韦达定理可知x₁+x₂和x₁•x₂，再根据

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，用点A，B表示点M，代入椭圆的标准方程可得k．

解答：解：（1）∵双曲线-y²=1的离心率为

2 3

3

，
∴椭圆的离心率为

3

2

．
又∵b=1，∴a=2．
∴椭圆的方程为

x2

4

+y²=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁•x₂=0．
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，
∴m=

1

2

（x₁+

3

x₂），n=

1

2

（y₁+

3

y₂），
∵点M在椭圆上，∴m²+4n²=4，
∴

1

4

（x₁+

3

x₂）²+（y₁+

3

y₂）²
=

1

4

[（x₁²+4y₁²）+3（x₂²+4y₂²）+2

3

x₁x₂+8y₁y₂]
=[4+12+8y₁y₂]=4．
∴y₁y₂=0，
∴（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=k•（-

8k

1+4k2

）+1=0，
即k²=

1

4

，∴k=±

1

2

．
此时△=（8k）²-4（1+4k²）×0=64k²=16＞0
∴k的值为±

1

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．