题目内容
已知点P在第一象限内，以P为圆心的圆过点A（-1，2）和B（1，4），线段AB的垂直平分线交圆P于C、D两点，且|CD|=2
．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）若直线AB与x轴交于点M，求
•
的值．
| 10 |
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）若直线AB与x轴交于点M，求
| MC |
| MD |
（1）∵A（-1，2）和B（1，4）
∴AB的中点为（0，3），∴kAB=1
∵AB⊥CD∴kCD=-1---------（2分）
∴直线CD的方程为y=-x+3，即x+y-3=0---------（4分）
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）
∵|CD|=2
，∴圆P的半径为
∴圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10---------（5分）
∵A在圆P上，∴（a+1）2+（b-2）2=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）2+（1-a）2=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=10--------（11分）
（3）直线AB的方程为y-2=x+1，即x-y+3=0
令y=0x=-3得∴M（-3，0）--------（12分）
设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，
∴
•
=0，
•
=0-------（13分）
∴
•
=(
+
)•(
+
)=|
|2+
•
=|
|2+|
|•|
|cos180°
∵ME=
=3
，PE=2
，
∴
•
=2，∴
•
=18-2=16-------（16分）
∴AB的中点为（0，3），∴kAB=1
∵AB⊥CD∴kCD=-1---------（2分）
∴直线CD的方程为y=-x+3，即x+y-3=0---------（4分）
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）
∵|CD|=2
| 10 |
| 10 |
∴圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10---------（5分）
∵A在圆P上，∴（a+1）2+（b-2）2=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）2+（1-a）2=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=10--------（11分）
（3）直线AB的方程为y-2=x+1，即x-y+3=0
令y=0x=-3得∴M（-3，0）--------（12分）
设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，
∴
| ME |
| CE |
| ME |
| ED |
∴
| MC |
| MD |
| ME |
| EC |
| ME |
| ED |
| ME |
| EC |
| ED |
| ME |
| EC |
| ED |
∵ME=
| |-3-0-3| | ||
|
| 2 |
| 2 |
∴
| EC |
| ED |
| MC |
| MD |
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,
的值； （2）求
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.
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