Question

已知函数y=f（x）的图象与函数g（x）=a^x（a＞1）的图象关于直线y=x对称，则f（1-x²）的单调递减区间为

（0，1]

．

Answer 1

分析：由函数y=f（x）的图象与函数g（x）=a^x（a＞1）的图象关于直线y=x对称，可得 f（x）=log_ax，从而f（1-x²）=loga(1-x2)，先求出该函数的定义域（-1，1），然后根据复合函数的单调性可求单调递减区间．

解答：解：∵函数y=f（x）的图象与函数g（x）=a^x（a＞1）的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=log_ax
∴f（1-x²）=loga(1-x2)，①
∵①的定义域为（-1，1）
令t=1-x²，则t=1-x²在（0，1]单调递减，在（-1，0）单调递增，
而函数 y=log_at （a＞1）在（0，+∞）上单调递增，
由复合函数的单调性可知函数的单调减区间是：（0，1]
故答案为：（0，1]．

点评：本题主要考查了互为反函数的函数的解析式的求解，由对数函数与二次函数复合的函数的单调区间的求解，此类问题的容易出错点是：漏掉对函数定义域的求解，造成单调区间扩大．