Question

【题目】设点O为坐标原点，椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为 的直线与直线AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求证：a=2b；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵A（a，0），B（0，b）， ，

即为（a﹣xM，0﹣yM）= （xM﹣0，yM﹣b），

即有a﹣xM= xM，﹣yM= （yM﹣b），

所以 ，

∴ ，解得a=2b；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆E的方程为 ，即x2+4y2=4b2（1）

依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且 ．

由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y=k（x﹣2）+1，

代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则 ， ，

由 得 ，解得 ．

从而x1x2=8﹣2b2．

于是

解得b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程为

【解析】（Ⅰ）运用向量的坐标运算，可得M的坐标，进而得到直线OM的斜率，进而得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，椭圆方程设为x2+4y2=4b2（1），设PQ的方程，代入方程（1），运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．