Question

12．设等比数列的前n项和为S_n，积为P_n，倒数的和为T_n，求证：P_n²=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ．

Answer 1

分析 分公比为是否为1两种情况讨论，利用等比数列的通项与求和公式，计算即得结论．

解答 证明：设等比数列{a_n}的公比为q，则：
①当q=1时，S_n=na₁，T_n=$\frac{n}{{a}_{1}}$，P_n=a₁ⁿ=${{a}_{1}}^{n}$，
∴P_n²=${{a}_{1}}^{2n}$=$（\frac{n{a}_{1}}{\frac{n}{{a}_{1}}}）^{n}$=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ；
②当q≠1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，T_n=$\frac{q（{q}^{n}-1）}{{a}_{1}{q}^{n}（q-1）}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=${{a}_{1}}^{2}{q}^{n-1}$，
又∵P_n=a₁a₂…a_n
=（a₁）ⁿ•q^{1+2+…+（n-1）}
=${{a}_{1}}^{n}{q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴P_n²=a²ⁿq^n（n-1）=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ；
综上所述，P_n²=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项与求和公式，考查学生的计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．