题目内容
【题目】已知抛物线的内接等边三角形
的面积为
(其中
为坐标原点).
(1)试求抛物线的方程;
(2)已知点两点在抛物线
上,
是以点
为直角顶点的直角三角形.
①求证:直线恒过定点;
②过点作直线
的垂线交
于点
,试求点
的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.
【答案】(1);(2)①证明见解析;②
,是以
为直径的圆(除去点
.
【解析】
(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由|OA|=|OB|,可得2pxA
2pxB,化简可得:点A,B关于x轴对称.因此AB⊥x轴,且∠AOx=30°.可得yA=2
p,再利用等边三角形的面积计算公式即可得出;
(2)①由题意可设直线PQ的方程为:x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2).与抛物线方程联立化为:y2﹣my﹣a=0,利用∠PMQ=90°,可得0利用根与系数的关系可得
m
,或
(m
),进而得出结论;
②设N(x,y),根据MN⊥NH,可得0,即可得出.
(1)解依题意,设,
,
则由,得
,
即,
因为,
,所以
,
故,
,
则,
关于
轴对称,
所以轴,且
,
所以.
因为,所以
,
所以,
故,
,
故抛物线的方程为
.
(2)①证明 由题意可设直线的方程为
,
,
,
由,消去
,得
,
故,
,
.
因为,所以
.
即.
整理得,
,
即,
得,
所以或
.
当,即
时,
直线的方程为
,
过定点,不合题意舍去.
故直线恒过定点
.
②解 设,则
,即
,
得,
即,
即轨迹是以为直径的圆(除去点
).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.