题目内容
已知椭圆
(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线
与椭圆在
轴上方的一个交点为
,
是椭圆的右焦点,试探究以
为
直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.



(1)求椭圆的方程;
(2)设直线





直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
(1)
; (2)两圆心距为
,所以两圆内切.


试题分析:(1)由于e=


又



所以椭圆的方程为:

(2)由(1)可知,直线与椭圆的一个交点为


则以




以椭圆长轴为直径的圆的方程是



两圆心距为

点评:中档题,本题椭圆的标准方程时,应用椭圆的几何性质,属于常见类型。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题研究圆与圆的位置关系,注意考查圆心距与半径和(差)的关系。

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