题目内容
3．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜$\sqrt{2}$），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1）共线．（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）点P（x0，y0）在椭圆上移动（直线AB不过点P），且直线PA、PB分别与直线l：x=2相交，交点记为M、N，试问M、N两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是请说明理由．
分析 （Ⅰ）将直线和椭圆方程联立，得到一元二次方程，根据韦达定理结合共线向量得到关于b的方程，求出b的值即可；
（Ⅱ）先求出PB、PA的方程，令x=2，分别求出yM，yN，从而得到答案．
解答 解：（Ⅰ）设直线AB：y=x-c，联立椭圆方程得：（b2-2）x2-4cx+2c2-2b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2=$\frac{4c}{{b}^{2}-2}$，x1•x2=$\frac{{2c}^{2}-{2b}^{2}}{{b}^{2}-2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x1+x2，y1+y2）=（$\frac{4c}{{b}^{2}+2}$，$\frac{-{2b}^{2}c}{{b}^{2}+2}$），
而向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1）共线，
∴$\frac{\frac{4c}{{b}^{2}+2}}{\frac{-{2b}^{2}c}{{b}^{2}+2}}$=$\frac{2}{-1}$，
∴b=1．
（Ⅱ）易得A（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），B（0，-1），
设点P（x0，y0），则直线PB的方程：y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x-1，
令x=2可得：yN=$\frac{{2y}_{0}{-x}_{0}+2}{{x}_{0}}$，
同理yM=$\frac{{x}_{0}+{2y}_{0}-2}{{3x}_{0}-4}$，
∴yM•yN=$\frac{{（{2y}_{0}）}^{2}{-{（x}_{0}-2）}^{2}}{{x}_{0}（{3x}_{0}-4）}$=$\frac{-{{3x}_{0}}^{2}+{4x}_{0}}{{{3x}_{0}}^{2}-{4x}_{0}}$=-1．
点评 本题考查了椭圆的性质，考查共线向量问题，是一道中档题．
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形．
函数f（x）=2x3与矩形框围成图如图，已知阴影部分的面积为1，则实数a的值为（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 4 | D． | 8 |
已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，c为半焦距，P为直线x=2上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N两点．
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，设EF=l，∠EFB=θ，那么的l长度取决于角θ的大小．