Question

12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，设EF=l，∠EFB=θ，那么的l长度取决于角θ的大小．
（1）写出用θ表示l的函数关系式，并给出定义域；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，利用直角三角形的边角关系可得：$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}$，可得BF=$\frac{6}{sin2θ}$≤12，可得$sin2θ≥\frac{1}{2}$，又显然$θ≤\frac{π}{4}$，即可得出函数定义域．
（2）由$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}=\frac{3}{{sinθ-{{sin}^3}θ}}$，$sinθ∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，令f（x）=x-x³（$x∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，
又∠GEA=∠GFB=2θ，
∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，
又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得，$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}$，
即所求函数关系式为$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}$，
由BF=lcosθ=$\frac{6cosθ}{sinθ（1+cos2θ）}$=$\frac{6}{sin2θ}$≤12，$sin2θ≥\frac{1}{2}$，
又显然$θ≤\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{4}$，
即函数定义域为$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$．
（2）∵$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}=\frac{3}{{sinθ-{{sin}^3}θ}}$，$sinθ∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
令f（x）=x-x³（$x∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$），
f′（x）=1-3x²=$-3（x+\frac{\sqrt{3}}{3}）（x-\frac{\sqrt{3}}{3}）$≥0，
∴函数f（x）在$x∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$单调递增，
∴当$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，${f_{max}}（x）=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，
∴l的最小值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．