Question

在平面直角坐标系xoy中，动点P到直线x=4的距离与它到点F（2，0）的距离之比为

2

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F（2，0）作垂直于x轴的直线l，求轨迹C与y轴及直线l围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题目中的：“距离之比”，将距离用点P的坐标表示，得到关于x，y的关系式即可；
（2）由于所求封闭图形不是规则的图形，考虑利用积分求面积，先构造一个函数即y=

2

2

8-x2

．之后求其积分即可．

解答：解：（1）设P（x，y），由题意有

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，
化简得

x2

8

+

y2

4

=1．
即动点P的轨迹C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）当y≥0时，y=

8-x2 2

，即y=

2

2

8-x2

．
设所求的图形的面积为S，则S=2

∫

2 0

2

2

8-x2

dx=

2

∫

2 0

8-x2

dx
=

2

(

1

2

×2×2+

1

2

×8×

π

4

)=2

2

+

2

π．
故所求的封闭图形的面积2

2

+

2

π．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．