Question

8．设非空集A满足以下条件：若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A
（1）若2∈A，你还能求出A中哪些元素？
（2）求证：若a∈A，则1-$\frac{1}{a}$∈A．

Answer 1

分析 （1）根据集合A的元素的性质知，a与$\frac{1}{1-a}$都在集合A中，故由2∈A，在利用$\frac{1}{1-a}$进行求解，直到求出三个元素为止，用列举法表示出来；
（2）由1∉A知a≠0，∴得出a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A，进一步得到$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，从而得出结论．

解答 解：（1）∵若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，2∈A
∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，
∴$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A，
所以，A={2，-1，$\frac{1}{2}$}；
证明：（2）由1∉A知a≠0，
∴a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A
得$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，
所以1-$\frac{1}{a}$是A中元素．

点评 本题考查了元素与集合的关系，主要根据集合元素的特征进行求解，对于存在型的问题，需要先假设存在有条件列出方程进行求解说明，考查了逻辑思维能力．