Question

18．四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，CD=2AB，E为PC中点，R为CD中点．
（1）求证：平面BER∥面PAD；
（2）若BE=AD=4，PA=4$\sqrt{3}$，求异面直线BE与DA所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得四边形ABRD是平行四边形，从而BR∥AD，由此能证明平面BER∥面PAD．
（2）由BR∥AD，且BR=AD=4，得∠EBR是异面直线BE与DA所成角（或所成角的补角），连结AC，交BR于点G，则G是AC中点，连结EG，由此利用余弦定理能求出异面直线BE与DA所成角的大小．

解答 （1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，CD=2AB，E为PC中点，R为CD中点，
∴ER∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DR，∴四边形ABRD是平行四边形，
∴BR∥AD，
∵ER∩BR=R，AD∩PD=D，AD?平面ADP，PD?平面ADP，BR?平面BRE，ER?平面BRE，
∴平面BER∥面PAD．
（2）解：∵四边形ABRD是平行四边形，
∴BR∥AD，且BR=AD=4，
∴∠EBR是异面直线BE与DA所成角（或所成角的补角），
连结AC，交BR于点G，则G是AC中点，连结EG，
则EG=$\frac{1}{2}PA=2\sqrt{3}$，BG=2，
在△BEG中，cos∠EBR=$\frac{{4}^{2}+4-12}{2×4×2}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EBR的大小为60°，∴异面直线BE与DA所成角的大小为60．

点评 本题考查面面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．