Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，（a为实数）．
（1）若，求a的值；
（2）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（3）当a＞2时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函数，∴∴，∴．
（2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴，∵f （x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），∴．
（3）当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减
证明：设x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₁，
则
=，∵x₁，x₂∈（0，1]，
∴，x₁x₂•（x₁+x₂）∈（0，2），
当a＞2时，x₁x₂•（x₁+x₂）-a＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减．
分析：（1）根据f（x）是奇函数，可得，解方程求得a的值．
（2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），故有 ，根据奇函数的定义解出f （x）．
（3）当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减，设x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₁，可证得f（x₁）-f（x₂）＞0，
可得结论成立．
点评：本题考查奇函数的定义，函数单调性的定义和证明方法，求函数的解析式是解题的难点．