题目内容
设函数,.
(1)当时,函数取得极值,求的值;
(2)当时,求函数在区间[1,2]上的最大值;
(3)当时,关于的方程有唯一实数解,求实数的值.
(1);(2)时,取最大值;(3).
解析试题分析:(1)先求出,因为当时,函数取得极值,所以,从而求出;(2)根据判断函数在区间[1,2]上的单调性,从而判断出最大值点,求出最大值;(3)由题意可知,方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,设,则函数图像与轴有且只有一个交点,根据导数判断函数的单调性,可知函数存在极小值即为最小值,最小值为,从中求出.
试题解析:
(1)的定义域为,所以.因为当时,函数取得极值,所以,所以.经检验,符合题意.
(2),令得,
因为,所以,即在[1,2]上单调递增,
所以时,取最大值.
(3)因为方程有唯一实数解,
所以有唯一实数解,
设,则,
令,因为,,
所以(舍去),,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
所以当时,取最小值,则 即,
所以,因为,所以(*),设函数,
因为当时,是增函数,所以至多有一解.
因为,所以方程(*)的解为,
即,解得.
考点:本题考查了导数在研究函数中的应用,突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法.
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