题目内容

(本小题满分16分) 一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上n(n≥4)个数,在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和,得到下一行,依此类推.记数表中第i行的第j个数为f(i,j).

(1)若数表中第i (1≤i≤n-3)行的数依次成等差数列,求证:第i+1行的数也依次成等差数列;

(2)已知f(1,j)=4j,求f(i,1)关于i的表达式;

(3)在(2)的条件下,若f(i,1)=(i+1)(ai-1),bi= ,试求一个函数g(x),使得

Sn=b1g(1)+b2g(2)+…+bng(n)<,且对于任意的m∈(,),均存在实数,使得当时,都有Sn >m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为,则由题意可得

 

 (其中为第行数所组成的数列的公差) . 

(2)

(3)

 

【解析】(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为,则由题意可得

 

 (其中为第行数所组成的数列的公差) . 

(2)第一行的数依次成等差数列,由(1)知,第2行的数也依次成等差数列,依次类推,可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列.

设第行的数公差为,则,则

所以

.            

(3)由,可得

所以= 

,则,所以    

要使得,即,只要=

,所以只要,

即只要,所以可以令

则当时,都有.所以适合题设的一个函数为

 

 

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