题目内容
(本小题满分16分) 一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上n(n≥4)个数,在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和,得到下一行,依此类推.记数表中第i行的第j个数为f(i,j).
(1)若数表中第i (1≤i≤n-3)行的数依次成等差数列,求证:第i+1行的数也依次成等差数列;
(2)已知f(1,j)=4j,求f(i,1)关于i的表达式;
(3)在(2)的条件下,若f(i,1)=(i+1)(ai-1),bi= ,试求一个函数g(x),使得
Sn=b1g(1)+b2g(2)+…+bng(n)<,且对于任意的m∈(,),均存在实数,使得当时,都有Sn >m.
【答案】
(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为,则由题意可得
(其中为第行数所组成的数列的公差) .
(2) .
(3) .
【解析】(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为,则由题意可得
(其中为第行数所组成的数列的公差) .
(2),第一行的数依次成等差数列,由(1)知,第2行的数也依次成等差数列,依次类推,可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列.
设第行的数公差为,则,则
所以
.
(3)由,可得
所以=
令,则,所以
要使得,即,只要=,
,,所以只要,
即只要,所以可以令
则当时,都有.所以适合题设的一个函数为.
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