题目内容
【题目】如图,半圆的直径,
为圆心,
,
为半圆上的点.
(Ⅰ)请你为点确定位置,使
的周长最大,并说明理由;
(Ⅱ)已知,设
,当
为何值时,
(ⅰ)四边形的周长最大,最大值是多少?
(ⅱ)四边形的面积最大,最大值是多少?
【答案】(Ⅰ)点是半圆的中点,理由见解析; (Ⅱ)(ⅰ)
时,最大值
(ⅱ)
时,最大面积是
【解析】
(Ⅰ)设,
,
,法一:依题意有
,再利用基本不等式求得
,从而得出结论;法二:由点
在半圆上,
是直径,利用三角函数求出
,
,再利用三角函数的性质求出结论;
(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形的周长
,再求
的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形
的面积
,再结合基本不等式求
的最大值.
(Ⅰ)点在半圆中点位置时,
周长最大.理由如下:
法一:因为点在半圆上,且
是圆的直径,
所以,即
是直角三角形,
设,
,
,显然a,b,c均为正数,则
,
因为,当且仅当
时等号成立,
所以,
所以,
所以的周长为
,当且仅当
时等号成立,
即为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点
是半圆的中点.
法二:因为点在半圆上,且
是圆的直径,
所以,即
是直角三角形,
设,
,
,
,
则,
,
,
因为,所以
,
所以当,即
时,
周长取得最大值
,此时点
是半圆的中点.
(Ⅱ)(ⅰ)因为,所以
,
所以,
,
设四边形的周长为
,
则
,
显然,所以当
时,
取得最大值
;
(ⅱ)过作
于
,
设四边形的面积为
,四边形
的面积为
,
的面积为
,则
,
所以
;
当且仅当,即
时,等号成立,
显然,所以
,所以此时
,
所以当时,
,即四边形
的最大面积是
.
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(1)求出y关于x的线性回归方程;
(2)试预测加工10个零件需要多少小时?
(注:=
,
=
-b
)