题目内容
【题目】已知函数
有两个极值点
， 
，且
，记点
， 
.
（Ⅰ）求直线
的方程；
（Ⅱ）证明：线段
与曲线
有且只有一个异于
、
的公共点.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）先求函数的极值点，再求两极值点的坐标，运用直线的点斜式方程求出其方程；（2）依据题设条件先构造函数将问题进行等价转化，再借助导数的知识分析推证：
（Ⅰ）令
，解得
或
，
且
在区间
， 
上单调递增，在区间
上单调递减，
， 
， 
， 
，即
， 
，
直线
的方程为
，化简得
.
（Ⅱ）设
，
则线段
与曲线
的公共点即
在区间
上的零点.
令
，解得
， 
，
且
在区间
， 
上单调递增，在区间
上单调递减.
由
可得
，
即
， 
，
在区间
上有且仅有有一个零点.
当
时，有
， 
在
上无零点；
当
时，有
， 
在
上无零点；
综上， 
在区间
上有且仅有一个零点.
所以线段
与曲线
有且只有一个异于
、
的公共点.
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