题目内容
【题目】已知四棱锥A-BCDE,其中AC=BC=2,AC⊥BC,CD//BE且CD=2BE,CD⊥平面ABC,F为AD的中点.
(1)求证:EF//平面ABC;
(2)设M是AB的中点,若DM与平面ABC所成角的正切值为,求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取中点
,连结
、
,推导出四边形
是平行四边形,从而
,由此能证明
面
.
(2)由平面
,是
为
与平面
所成角,以
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,利用向量法能示出平面
与平面
夹角的余弦值.
证明:(1)取中点
,连结
、
,
、
分别是
、
的中点,
,且
.
又,且
,
四边形
是平行四边形,
,
面
且
面
,
面
.
(2)平面
,
为
与平面
所成角,
为
的中点,且
,
,得
与平面
所成角的正切值为
,
,
,
以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标,
则,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
由,取
,得
,
而平面的法向量为
,
,
,
由,
得平面与平面
夹角的余弦值为
.
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