题目内容

15.设a′、b′为整数,把形如a′+b′$\sqrt{5}$的一切数构成的集合记为M,设x∈M,y∈M,试判断x+y,x-y,xy是否属于M,并说明理由.

分析 不妨设x=a1+b1$\sqrt{5}$,y=a2+b2$\sqrt{5}$,(a1,b1,a2,b2为整数),从而可得x+y=(a1+a2)+(b1+b2)$\sqrt{5}$∈M,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)$\sqrt{5}$∈M,xy=(a1a2+5b1b2)+(a1b2+b1a2)$\sqrt{5}$∈M.

解答 解:∵x∈M,y∈M,
∴不妨设x=a1+b1$\sqrt{5}$,y=a2+b2$\sqrt{5}$,(a1,b1,a2,b2为整数),
∴x+y=(a1+a2)+(b1+b2)$\sqrt{5}$,
又∵a1+a2,b1+b2为整数,
∴x+y∈M,
同理,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)$\sqrt{5}$∈M,
xy=(a1a2+5b1b2)+(a1b2+b1a2)$\sqrt{5}$∈M.

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断与应用,属于基础题.

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