题目内容
已知复数z1满足：（1+2i）
=4+3i，zn+1-zn=2+2i（n∈N+）．
（1）求复数z1
（2）求满足|zn|≤13的最大正整数n．
| . |
| z1 |
（1）求复数z1
（2）求满足|zn|≤13的最大正整数n．
（1）设z1=a+bi（a，b∈R），则
=a-bi
（1+2i）（a-bi）=4+3i
a+2b+（2a-b）i=4+3i
解得：
∴z1=2+i
（2）由zn+1-zn=2+2i（n∈N*）得：
z2-z1=2+2i
z3-z2=2+2i
z4-z3=2+2i
…
zn-zn-1=2+2i（n∈z，n≥2）
累加得zn-z1=2（n-1）+（n-1）i（n∈N*）
zn=2n+（2n-1）i（n∈N*）
|zn|=
=
令|zn|≤13，即8n2-4n+1≤169
2n2-n-42≤0
∴
≤n≤
＜5
∴n的最大整数取值是4．
| z1 |
（1+2i）（a-bi）=4+3i
a+2b+（2a-b）i=4+3i
|
解得：
|
∴z1=2+i
（2）由zn+1-zn=2+2i（n∈N*）得：
z2-z1=2+2i
z3-z2=2+2i
z4-z3=2+2i
…
zn-zn-1=2+2i（n∈z，n≥2）
累加得zn-z1=2（n-1）+（n-1）i（n∈N*）
zn=2n+（2n-1）i（n∈N*）
|zn|=
| 4n2+(2n-1)2 |
| 8n2-4n+1 |
令|zn|≤13，即8n2-4n+1≤169
2n2-n-42≤0
∴
1-
| ||
| 4 |
1+
| ||
| 4 |
∴n的最大整数取值是4．
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