Question

已知复数z₁满足：（1+2i）

.

z1

=4+3i，z_n+1-z_n=2+2i（n∈N+）．
（1）求复数z₁
（2）求满足|z_n|≤13的最大正整数n．

Answer 1

分析：（1）设出复数，从而得到复数的共轭复数，把共轭复数代入所给的等式，得到关于a和b的等式，根据两个复数相等的充要条件，写出关于变量的方程组，得到结果．
（2）根据z_n+1-z_n=2+2i，仿写一系列这样的式子，一直到n=1，把所有的式子相加，利用叠加的方法，把出现的互为相反数的合并，这里的做法同求数列的通项一致，表示出模长，解不等式得到结果．

解答：解：（1）设z₁=a+bi（a，b∈R），则

z1

=a-bi
（1+2i）（a-bi）=4+3i
a+2b+（2a-b）i=4+3i

a+2b=4 2a-b=3

解得：

a=2 b=1

∴z₁=2+i
（2）由z_n+1-z_n=2+2i（n∈N^*）得：
z₂-z₁=2+2i
z₃-z₂=2+2i
z₄-z₃=2+2i
…
z_n-z_n-1=2+2i（n∈z，n≥2）
累加得z_n-z₁=2（n-1）+（n-1）i（n∈N^*）
z_n=2n+（2n-1）i（n∈N^*）
|z_n|=

4n2+(2n-1)2

=

8n2-4n+1

令|z_n|≤13，即8n²-4n+1≤169
2n²-n-42≤0
∴

1- 1+8×42

4

≤n≤

1+ 1+8×42

4

＜5
∴n的最大整数取值是4．

点评：本题考查复数的代数形式的运算，考查复数的模长，是一个综合题，解题的关键是写出要用模长的复数，这里采用叠加的方法，这是一个数列求通项常用的方法，更进一步理解知识是紧密联系的．