题目内容

已知复数z1满足(3+4i)z1=-1+7i,z2=a-2-i,a∈R.
(1)若|z1+
.
z2
|<2|z1|
,求a的取值范围;
(2)若z1+
.
z2
是方程x2-2x+p=0(p∈R)的一个根,求a与p的值.
分析:(1)先求出z1,再利用复数的模的定义根据|z1+
.
z2
|<2|z1|
,得到 
(a-1)2+4
<2
2
,由此解得a的范围.
(2)由题意可得a-1+2i(a∈R)是方程 x2-2x+p=0(p∈R)的一个根,△=(-2)2-4p<0,且a-1-2i(a∈R)也是
此方程的一个根,再利用韦达定理求出a与p的值.
解答:解:(1)因为z1=
-1+7i
3+4i
,所以z1=
(-1+7i)•(3-4i)
(3+4i)•(3-4i)
=1+i.…(1分)
于是 |z1+
.
z2
|=|1+i+a-2+i|=|a-1+2i|=
(a-1)2+4
|z1|=
2
,…(3分)
又   |z1+
.
z2
|<2|z1|
,则   
(a-1)2+4
<2
2
,解得-1<a<3.
因此,所求的a的取值范围为(-1,3).…(5分)
(2)由(1)知  z1=1+i,则z1+
.
z2
=a-1+2i

所以a-1+2i(a∈R)是方程 x2-2x+p=0(p∈R)的一个根,
则△=(-2)2-4p<0,且a-1-2i(a∈R)也是此方程的一个根.…(8分)
于是     
△=(-2)2-4p<0
(a-1+2i)+(a-1-2i)=2
(a-1+2i)•(a-1-2i)=p.
,解得  
a=2
p=5.

因此,a=2,p=5.…(10分)
点评:本题考查两个复数代数形式的除法,复数求模的方法以及韦达定理的应用,属于中档题.
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