题目内容
(本小题满分14分)已知函数
,
.
(1)当
时,求曲线
在点(3,
)处的切线方程;
(2)当函数
在
上有唯一的零点时,求实数
的取值范围.


(1)当



(2)当函数



解:(1)当a=0时,
,
∴f(3)=1, ∵f'(x)=x2-2x ………3分
曲线在点(3,1)处的切线的斜率k=f'(3)="3 " ………4分
∴所求的切线方程为y-1=3(x-3),即y="3x-8 " ………6分
(2)∵f'(x)=x2-2(2a+1)x+3a(a+2)="(x-3a)(x-a-2) " ∴x1=3a,x2=a+2
①当x1=x2时,3a=a+2,解得a=1,这时x1=x2=3,函数y=f'(x)在(0,4)上
有唯一的零点,故a=1为所求;………7分
②当x1>x2时,即
,这时x1>x2>3,
又函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,
..........10分
③当x1<x2时,即a<1,这时x1<x2<3
又函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,
∴
………13分
综上得当函数
在
上有唯一的零点时,
或
或
. ………14分

∴f(3)=1, ∵f'(x)=x2-2x ………3分
曲线在点(3,1)处的切线的斜率k=f'(3)="3 " ………4分
∴所求的切线方程为y-1=3(x-3),即y="3x-8 " ………6分
(2)∵f'(x)=x2-2(2a+1)x+3a(a+2)="(x-3a)(x-a-2) " ∴x1=3a,x2=a+2
①当x1=x2时,3a=a+2,解得a=1,这时x1=x2=3,函数y=f'(x)在(0,4)上
有唯一的零点,故a=1为所求;………7分
②当x1>x2时,即

又函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,

③当x1<x2时,即a<1,这时x1<x2<3
又函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,
∴

综上得当函数





略

练习册系列答案
相关题目