题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
,
为
的中点,
平面
,垂足
落在线段
上,
为
的重心,已知
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)设点在线段
上,使得
,试确定
的值,使得二面角
为直二面角.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)方法一:由重心的性质得出,再由
,结合相似三角形的性质得出
,再利用直线与平面平行的判定定理得出
平面
;
方法二:以为原点,以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
,利用重心的坐标公式计算出点
的坐标,可计算出
,可证明出
,再利用直线与平面平行的判定定理得出
平面
;
(2)计算出和
,利用向量的坐标运算计算出
,即可得出异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)由,得出
,可求出
的坐标,然后可计算出平面
(即平面
)的一个法向量
和平面
的一个法向量
,由题意得出
,结合空间向量数量积的坐标运算可求出实数
的值.
(1)方法一:如图,连接,因为
是
的重心,
是
的中点,
即,
,
,
,
所以,,又因为
平面
,
平面
,
平面
;
方法二:以为原点,以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
,
则、
、
、
、
、
,
是
的重心,则点
的坐标为
,
,
,即
,
又因为平面
,
平面
,
平面
;
(2),
,
,
所以异面直线与
所成角的余弦值
;
(3),
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
由,得
,即
,令
,可得
,
,
所以,平面的一个法向量为
,
由,得
,得
,
取,则
,
,
所以,平面的一个法向量为
,
由于二面角为直二面角,所以,
,
则,解得
,合乎题意.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业为打入国际市场,决定从,
两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
项目类别 | 年固定成本 | 每件产品成本 | 每件产品销售价 | 每年最多可生产的件数 |
| 20 | 10 | 200 | |
| 40 | 8 | 18 | 120 |
其中年固定成本与年生产的件数无关,为待定常数,其值由生产
产品的原材料价格决定,预计
.另外,年销售
件
产品时需上交
万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产,
两种产品的年利润
、
与生产相应产品的件数
之间的函数关系,并指明其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.