题目内容
【题目】已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）． （Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．
【答案】解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因为f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0． 又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣2=0．
（II）令f'（x）=0，解得 
．
当 
，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（2）=8﹣4a．
当 
时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax=f（0）=0．
当 
，即0＜a＜3，f（x）在 
上单调递减，在 
上单调递增，从而 
综上所述，fmax= 
【解析】（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数
在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在
内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．
【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
【题目】2016年10月，继微信支付对提现转账收费后，支付宝也开始对提现转账收费，随着这两大目前用户使用粘度最高的第三方支付开始收费，业内人士分析，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“
类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“
类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“
类用户”，各类用户的人数如图所示：
同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的
列联表：
| 非 | 合计 | |
青年 | 20 | ||
中老年 | 40 | ||
合计 | 200 |
（Ⅰ）完成列联表并判断是否有99.5%的把握认为“类用户与年龄有关”；
（Ⅱ）从这200人中按类用户、类用户、类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中类用户、类用户、类用户均存在的概率；
（Ⅲ）把频率作为概率，从支付宝所有用户（人数很多）中随机抽取3人，用
表示所选3人中类用户的人数，求的分布列与期望.
附：
| 0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
【题目】生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 |
|
|
|
|
|
元件甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
元件乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)试分别估计元件甲、乙为正品的概率；
(2)生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元，生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在(1)的前提下：
(i)记
为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
(ii)求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率.
