Question

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，为抛物线的焦点，点为直线上任意一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线交于、两点，过、分别作准线的垂线交抛物线于点、.

（1）求抛物线的方程；

（2）证明：直线过定点，并求出定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.

【解析】

（1）设抛物线的标准方程为，根据抛物线的准线方程可求得的值，由此可求得抛物线的方程；

（2）设点的坐标为，求出圆的方程，与直线方程联立，可得出关于、的二次方程，并设点、，可列出韦达定理，并求得直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标.

（1）设抛物线的标准方程为，

依题意，，抛物线的方程为；

（2），设，则，，

于是圆的方程为，

令，得，①

设、，由①式得，，②

直线的斜率为，

则直线的方程为，

代入②式就有，

因为上式对恒成立，故，即直线过定点.