Question

12．已知点A（1-m，0），B（1+m，0），若圆C：x²+y²-8x-8y+31=0上存在一点P，使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，则m的最大值为6．

Answer 1

分析 将圆的方程变成标准方程：（x-4）²+（y-4）²=1，从而可设P（4+cosθ，4+sinθ），根据已知条件知道△PAB为直角三角形，并且可求得AB中点为（1，0），从而得到P到该点的距离为|m|，根据两点间距离公式从而得到（3+cosθ）²+（4+sinθ）²=m²，将该式可变成26+10sin（θ+φ）=m²，这样即可求得m的最大值．

解答 解：圆C的方程变成：（x-4）²+（y-4）²=1；
∴设P（4+cosθ，4+sinθ），如图：
线段AB的中点坐标为（1，0），|AB|=2|m|；
∴P点到线段AB中点的距离为|m|；
∴（3+cosθ）²+（4+sinθ）²=m²；
∴26+6cosθ+8sinθ=m²；
∴26+10sin（θ+φ）=m²，其中tanφ=$\frac{3}{4}$；
∴m²最大为36；
∴m的最大值为6．
故答案为：6．

点评 考查圆的标准方程，直角三角形的直角顶点到斜边的距离等于斜边的一半，中点坐标公式，两非零向量垂直的充要条件，以及利用三角函数设圆上点的坐标，两点间距离公式．