Question

20．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+2ⁿ（n∈N^*），
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*）变形可知a_n+2ⁿ=3（a_n-1+2^n-1），进而可知数列{b_n}是以首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=3ⁿ-2ⁿ，进而利用发在求和法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+2ⁿ=3（a_n-1+2^n-1），即b_n=3b_n-1，
又∵b₁=a₁+2=1+2=3，
∴数列{b_n}是以首项、公比均为3的等比数列，
∴其通项公式b_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形及分组求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．