Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB₁
（1）求证：BC₁∥平面CA₁D
（2）求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）求二面角C-DA₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设AC₁与A₁C交于O，连接DO，则可得O为AC₁的中点，则由OD∥BC₁结合线面平行的判定定理可证
（2）根据面面垂直的判定定理可证，要证明平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B，结合已知，只要先证BB₁⊥CD，CD⊥AB，进而有CD⊥平面AA₁B₁B，根据面面垂直的判定定理即可证
（3）设AC=BC=BB₁=a，，通过计算可得A₁D⊥DC
过C₁作C₁M⊥A₁D垂足为M，则可得

A1M

MD

=

1

2

，过M作MN∥DC与A₁C交于N，则MN⊥A₁D，则∠NMC₁即为二面角角C-DA₁-C₁的平面角，在△MNC₁中，由余弦定理可得，cos∠C1MN=

MN2+MC12-C1N2

2MN•MC1

可求

解答：证明：（1）设AC₁与A₁C交于O，连接DO，则可得O为AC₁的中点
所以OD∥BC₁
因为DO?平面CA₁D，BC₁?平面CA₁D
所以BC₁∥平面CA₁D
（2）由直三棱柱ABC-可得BB₁⊥平面ABC
所以BB₁⊥CD
又AC=BC，D为AB的中点∴CD⊥AB
∵AB∩BB₁=B
∴CD⊥平面AA₁B₁B
又∵CD?平面CA₁D
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）解：设AC=BC=BB₁=a，则可得A1D=

6

2

a，DC=

2

2

a，A1C=

2

a
∴A₁D²+DC²=A₁C²，即A₁D⊥DC
在△C₁DA₁中，AD=C1D=

6

2

a，A₁C₁=a
过C₁作C₁M⊥A₁D垂足为M，则可得

A1M

MD

=

1

2

，过M作MN∥DC与A₁C交于N，则MN⊥A₁D
∴∠NMC₁即为二面角角C-DA₁-C₁的平面角
在△MNC₁中，MC₁=

30

6

a，C1N=

17

3

a，MN=

2

6

a
由余弦定理可得，cos∠C1MN=

MN2+MC12-C1N2

2MN•MC1

=

-3 15

5

点评：本题是一道综合性较强的试题，综合考查了线面平行（垂直）的判定定理的应用及线线平行（垂直），线面平行（垂直），面面平行（垂直）的相互转化，难点在于二面角的求解．