题目内容
【题目】在直角梯形(如图1),
,
,
,
,
为线段
中点.将
沿
折起,使平面
平面
,得到几何体
(如图2).
(1)求证:平面
;
(2)求与平面
所成角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)通过计算结合勾股定理的逆定理可以证明,再根据面面垂直的性质定理进行证明即可;
(2)法一、
取的中点
连接
,根据
,结合三棱锥的体积公式进行求解即可;
法二、
取的中点
连接
,由题设可知
为等腰直角三角形,所以
面
,连接
,因为
分别为
和
的中点,所以
,由(1)可知
,故以
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,如图所示.运用向量法求解即可.
解:(1)由题设可知,
,
∴∴
又∵平面平面
,平面
平面
∴面
.
(2)法一、等体积法
取的中点
连接
,由题设可知
为等腰直角三角形,所以
面
∵且
而
∴到面
的距离
,
所以.
法二、向量法
取的中点
连接
,由题设可知
为等腰直角三角形,所以
面
,连接
,因为
分别为
和
的中点,所以
,由(1)可知
,故以
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则,
,
,
∴
∴面的一个法向量
∴

【题目】随着银行业的不断发展,市场竞争越来越激烈,顾客对银行服务质量的要求越来越高,银行为了提高柜员员工的服务意识,加强评价管理,工作中让顾客对服务作出评价,评价分为满意、基本满意、不满意三种.某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异,在下属的四个分行中随机抽出40人(男女各半)进行分析比较.对40人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计,按男、女分为两组,再将每组柜员员工的月“不满意”次数分为5组:,
,
,
,
,得到如下频数分布表.
分组 | |||||
女柜员 | 2 | 3 | 8 | 5 | 2 |
男柜员 | 1 | 3 | 9 | 4 | 3 |
(1)在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图;分别求出男、女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值,试根据估计值比较男、女柜员员工的满意度谁高?
(2)在抽取的40名柜员员工中:从“不满意”次数不少于20的员工中随机抽取3人,并用X表示随机抽取的3人中女柜员工的人数,求X的分布列和数学期望.