题目内容
【题目】在直角梯形
（如图1），
，
，
，
，
为线段
中点.将
沿
折起，使平面
平面
，得到几何体
（如图2）.
（1）求证：
平面
；
（2）求
与平面
所成角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）通过计算结合勾股定理的逆定理可以证明
，再根据面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）法一、
取
的中点
连接
，根据
，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；
法二、
取的中点连接，由题设可知
为等腰直角三角形，所以
面
，连接
，因为
分别为
和的中点，所以
，由（1）可知
，故以
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，如图所示.运用向量法求解即可.
解：（1）由题设可知
，
，
∴
∴
又∵平面
平面
，平面
平面
∴
面
.
（2）法一、等体积法
取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面
∵且
而
∴
到面
的距离
，
所以
.
法二、向量法
取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面，连接，因为分别为和的中点，所以，由（1）可知，故以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则
，
，
，
∴
∴面的一个法向量
∴
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【题目】随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越来越高，银行为了提高柜员员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作出评价，评价分为满意、基本满意、不满意三种．某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机抽出40人（男女各半）进行分析比较．对40人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计，按男、女分为两组，再将每组柜员员工的月“不满意”次数分为5组：
，
，
，
，
，得到如下频数分布表．
分组 |
|
|
|
|
|
女柜员 | 2 | 3 | 8 | 5 | 2 |
男柜员 | 1 | 3 | 9 | 4 | 3 |
（1）在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图；分别求出男、女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员员工的满意度谁高？
（2）在抽取的40名柜员员工中：从“不满意”次数不少于20的员工中随机抽取3人，并用X表示随机抽取的3人中女柜员工的人数，求X的分布列和数学期望．
