题目内容

已知f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，α∈（0，π） 且f（
π
2
=
3
-2）．
（1）求α；
（2）当x∈[
π
2
，π]时，求函数y=f（x+α）的值域．
分析：题干错误：且f（
π
2
=
3
-2）．  应该是：且f（
π
2
）=
3
-2．
（1）根据f（x）的解析式可得f（
π
2
）=
3
-
4
3
3
tanα•
1
2
=
3
-2，求得tanα=
3
，结合 α∈（0，π），求得 α 的值．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x-
π
6
）-2，可得函数y=f（x+α）=f（x+
π
3
）=2sin（x+
π
3
-
π
6
）-2=2sin（x+
π
6
）-2．再由
π
2
≤x≤π，根据正弦函数的定义域和值域，求得
函数y=f（x+α）的值域．
解答：解：（1）因为f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，∴f（
π
2
）=2sin（
π
2
+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
π
4
=
3
-
4
3
3
tanα•
1
2
=
3
-2，
所以，tanα=
3
，又 α∈（0，π），故 α=
π
3
．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
=2sin（x+
π
6
）-4cos2
x
2
=
3
sinx+cosx-2（1+cosx）=2（
3
2
sinx-
1
2
cosx）-2=2sin（x-
π
6
）-2，
所以，y=f（x+α）=f（x+
π
3
）=2sin（x+
π
3
-
π
6
）-2=2sin（x+
π
6
）-2．
因为
π
2
≤x≤π，所以
2π
3
≤x+
π
6
≤
7π
6
，∴-
1
2
≤sin（x+
π
6
）≤
3
2
，∴-3≤2sin（x-
π
6
）-2≤
3
-2，
因此，函数y=f（x+α）的值域为[-3，
3
-2]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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相关题目
已知f（x）=2sin（2x-
π
6
）-m在x∈[0，
π
2
]上有两个不同的零点，则m的取值范围为
 
．
已知f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．
（2011•孝感模拟）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（　　）
已知f（x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
，若0≤θ≤π，使函数f（x）为偶函数的θ为（　　）
（2012•东莞二模）已知f（x）=2sin（
π
3
x+
π
6
），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{an}（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn+1=bn+a2n，求{bn}的通项公式．

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