Question

14．已知函数f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a∈R且a≠0），当a=3时，求函数的单调区间．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=x-2x²+lnx，从而求导f′（x）=1-4x+$\frac{1}{x}$=$\frac{-4{x}^{2}+x+1}{x}$=-$\frac{（x-\frac{1-\sqrt{17}}{8}）（x-\frac{1+\sqrt{17}}{8}）}{x}$，从而确定函数的单调区间．

解答 解：当a=3时，
f（x）=x-2x²+lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1-4x+$\frac{1}{x}$=$\frac{-4{x}^{2}+x+1}{x}$
=-$\frac{（x-\frac{1-\sqrt{17}}{8}）（x-\frac{1+\sqrt{17}}{8}）}{x}$，
故当x∈（0，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$）时，f′（x）＞0，
当x∈（$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，+∞）时，f′（x）＜0，
故函数的单调增区间为（0，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$），
单调减区间为（$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调区间的求法．