Question

9．（1）已知方程x²+（m-2）x+2m一1=0的较大实根在0和1之间，求m的取值范围；
（2）已知方程x²+（m-2）x+2m-1=0的较小实根在0和1之间，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方程x²+（m-2）x+2m-1=0的较大实根在区间（0，1）内，可分类研究，分为：有且只有一个大根在区间（0，1）内和两根均在区间（0，1）内，得到关于m的关系式，化简得本题结论
（2）方程x²+（m-2）x+2m-1=0的较小实根在区间（0，1）内，可分类研究，分为：有且只有一个小根在区间（0，1）内和两根均在区间（0，1）内，得到关于m的关系式，化简得本题结论

解答 解：（1）记f（x）=x²+（m-2）x+2m-1=0，
∵x²+（m-2）x+2m-1=0的较大实根在区间（0，1）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（1）＞0\\-\frac{m-2}{2}＜1\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＞0\\ 0＜-\frac{m-2}{2}＜1\\ f（-\frac{m-2}{2}）＜0\end{array}\right.$，
解之得：$\frac{2}{3}$＜m＜6-2$\sqrt{7}$．
（2）记f（x）=x²+（m-2）x+2m-1=0，
∵x²+（m-2）x+2m-1=0的较小实根在区间（0，1）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\-\frac{m-2}{2}＞0\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）≥0\\ 0＜-\frac{m-2}{2}＜1\\ f（-\frac{m-2}{2}）＜0\end{array}\right.$，
解之得：$\frac{1}{2}$＜m＜6-2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是方程根的分布，还考查了二次函数的图象和分类讨论的数学思想，本题有一难度，属于中档题