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精英家教网如图所示,横截面为四分之一圆(半径为R)的柱体放在水平地面上,一根匀质木棒OA长为3R,重为G.木棒的O端与地面上的铰链连接,木棒搁在柱体上,各处摩擦均不计.现用一水平推力F作用在柱体竖直面上,使柱体沿着水平地面向左缓慢移动.问:
(1)当木棒与地面的夹角θ=30°时,柱体对木棒的弹力多大?
(2)此时水平推力F多大?
(3)在柱体向左缓慢移动过程中,柱体对木棒的弹力及水平推力F分别如何变化?
分析:(1)先求出柱体与木棒间弹力的力臂LN,木棒重力的力臂LG,然后根据杠杆平衡条件:GLG=FNLN求弹力.
(2)柱体在水平方向受推力F及木棒压力的分力F1,在这两个力的作用下柱体处于平衡状态,平衡条件可求出水平推力.
(3)先求出弹力LN及推力F大小的表达式,然后由数学知识tanθ,sinθ,随θ的增加而增大,来判断FN,F大小如何变化.
解答:精英家教网解:(1)如图示,重力的力臂LG=
3R
2
cosθ=
3R
2
cos30°=
3R
2
×
3
2
=
3
3
R
4
,柱体与木棒的弹力力臂LN=
R
tan300
=
3
R,
由杠杆的平衡条件,得:GLG=FNLN,FN=
GLG
LN
=
3
3
R
4
3R
=
3G
4

(2)柱体在水平方向受水平向左的推力F,水平向右的木棒对柱体压力的水平分力F1=FNsinθ=FNsin30°=
3G
4
×
1
2
=
3G
8

柱体缓慢移动可认为柱体在水平方向平衡,由平衡条件得:F=F1=
3G
8

(3)由(1)知LN=
R
tanθ
,GLG=FNLN,FN=
GLG
LN
=
GR×
3
2
cosθ
R
tanθ
3
3
R
4
R
tanθ
=
3
2
Gsinθ,在柱体缓慢向左移动的过程中,θ不断变大,从而sinθ不断变大,FN不断变大.
在水平方向上,水平推力F=FNsinθ,在柱体缓慢向左移动的过程中,θ不断变大,sinθ不断增大,FN不断变大,所以F不断变大.
答:(1)柱体对木棒的弹力为
3
4
G.(2)此时水平推力为
3
8
G.(3)在柱体向左缓慢移动过程中,柱体对木棒的弹力及水平推力F都不断变大.
点评:本题考查了:(1)杠杆平衡问题,求柱体对木棒弹力的关键是,准确地求出各力的力臂.
(2)物体的动态平衡问题,解此类题时先求出各力的表达式,再由数学知识讨论力如何变化.
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