【题目】如图，在矩形中，，，连接，并过点作，垂足为，直线垂直，分别交、于点、．直线从出发，以每秒的速度沿方向匀速运动到为止；点沿线段以每秒的速度由点向点匀速运动，到点为止，直线与点同时出发，设运动时间为秒（）．

（1）线段_________；

（2）连接和，当四边形为平行四边形时，求的值；

（3）在整个运动过程中，当为何值时的面积取得最大值，最大值是多少？

【题目】观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．

（1）观察发现

_________；

__________．

（2）初步应用

利用（1）的结论，解决下列问题：

①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即__________；

②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即__________．

（3）深入探究

定义“◆”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_________．

（4）拓展延伸

第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数，记2个数的和为，第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的，记4个数的和为；第三次将四个圆分成圆，在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆分成圆，在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为；……如此进行了次．

①_________（用含、的代数式表示）；

②，求的值．

（1）求y与x的函数关系式．

（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？

（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

【题目】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点与点．

（1）求反比例函数的表达式及点坐标．

（2）根据图象回答，在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．

（3）求三角形的面积．

【题目】据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒＝小时），并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）．（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）

根据以上信息，整理分析数据如下：

（1）完成表格填空：①__________②__________③__________

（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．

【题目】将2019个边长为l的正方形按如图所示的方式排列，点和点是正方形的顶点，连接分别交正方形的边于点，四边形的面积是，四边形的面积是，…，则为_________．

【题目】如图，在矩形中，，点在直线上，与直线相交所得的锐角为，点在直线上，，垂足为点，与点重合，，以为直径，在的右侧作半圆，点是半圆上任意一点．

（1）发现：连接，则线段的最大值为____________；

（2）矩形保持不动，半圆沿直线向右平移，设平移距离为．思考：点E落在边上时，求半圆与矩形重合部分的面积；

（3）探究：在平移过程中，当半圆与矩形的边相切时，直接写出的值（参考数据：结果保留根号）

【题目】某批发部某一玩具价格如图所示，现有甲、乙两个商店，计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具，两商店所需玩具总数为120个，乙商店所需数量不超过50个，设甲商店购买个，如果甲、乙两商店分别购买玩具，两商店需付款总和为元.

（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）若甲商店购买不超过100个，请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？