题目内容

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2）．
（1）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整数点，请在第一象限内求作一个整数点C，使得AC=BC，且AC的长为小于4的无理数，则C点的坐标是，△ABC的面积是；
（2）试求出△ABC外接圆的半径．

解：（1）作AB的垂直平分线，从图形中可以看出C点的坐标是C₁（1，1），C₂（5，5）
过A作AH⊥Y轴于H，过B作BM⊥Y轴于M，BF⊥X轴于F，过C作CG⊥Y轴于G，CE⊥X轴于E，
当C₁（1，1）时，S_△ABC=S_梯形AHMB+S_矩形BMOF-S_梯形AHGC-S_{正方形OGCE}-S_梯形CEFB，
= $\text{[math]}$ ×（2+4）×2+4×2- $\text{[math]}$ ×（1+2）×（4-1）-1×1- $\text{[math]}$ ×（1+2）×（4-1），
=4；
当C₂（5，5）时，同法可求S_△ABC=4；
故答案为：（1，1）和（5，5），4．

（2）如图，在△ABC中，作CD⊥AB于D，连接AE，E为圆心，

∵由勾股定理得：AC=BC= $\text{[math]}$ ，AB=2 $\text{[math]}$ ，
∴CD=2 $\text{[math]}$ ，
设半径AE=CE=x，则x²=（ $\text{[math]}$ ）²+（2 $\text{[math]}$ -x）²，
∴半径x= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
答：△ABC外接圆的半径是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）作AB的垂直平分线，C在AB的垂直平分线上，由此得出答案，把△ABC的面积转化成能用点的坐标求的规则图形的面积如图，即可求出答案；
（2）作AB边上的高CD，设半径r，由勾股定理列出方程，即可求出答案．
点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形利用坐标求出面积，用的数学思想是分类讨论思想和方程思想．