Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+6过点A(6，0)，B(4，6)，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，直线l的解析式为y=x，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线l的垂线，垂足为点H，连接OP，求△OPH的面积；

（3）把图1中的直线y=x向下平移4个单位长度得到直线y=x-4，如图2，直线y=x-4与x轴交于点G．点P是四边形ABCO边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E，F．是否存在点P，使得以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）S△OPH=8；（3）存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，4）,（，）,（4，6）,（，6）．

【解析】

（1）把，代入解析式，求解即可；

（2）延长交轴于点，则、均为等腰直角三角形，运用计算即可；

（3）由于点可能在、、、、上，而等腰三角形本身又有三种情况，故分别讨论与计算即可.

（1）∵抛物线y=ax2+bx+6过点A(6，0)，B(4，6)，

∴

（2）∵该抛物线的对称轴为直线 ∴CP=2．

如图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．

∴CM=CP=2，

∴OM=OC+CM=6+2=8． OH=MH=

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=

（3）存在满足条件的点P，点P坐标为：

（0，4）,（，）,（4，6）,（，6）．